Pillole di Matematica: nascita dei numeri interi e operazioni aritmetiche

Pillole di Matematica: nascita dei numeri interi e operazioni aritmetiche

Far di conto, almeno fino a un certo livello, è qualcosa che diamo per scontato e che facciamo con più o meno naturalezza (per molti più meno che più!). Ma cosa sono i numeri, quali concetti di base non tutti sanno e che invece sarebbe molto interessante scoprire e comprendere? Senza la pretesa di entrare in meandri troppo rigorosi e tralasciando i tantissimi riferimenti storici sul concetto di "numero", ci basterà fornire delle idee di base. 

I numeri sono entità astratte che l'uomo concepisce per rendere possibile enumerare e misurare altre entità. L'esigenza più antica era naturalmente quella di "contare" oggetti. Nasce così l'insieme dei numeri naturali, indicati tipicamente con N. Prendiamo ad esempio l'insieme "A", contenente gli oggetti: {mela, pera, banana}, poi prendiamo l'insieme "B", contenente gli oggetti {matita, penna, gomma}. Gli oggetti presenti in questi insiemi possono, come si dice, essere messi in "corrispondenza biunivoca", come i bottoni e le asole di una camicia. Cioè ad un oggetto di A si può far corrispondere uno e un solo oggetto di B e viceversa. Gli oggetti tra loro possono in generale non avere nulla a che fare, ma una cosa in comune ce l'hanno: A e B contengono la stessa quantità di oggetti. Questa stessa quantità è quella che chiamiamo "numero", che nel nostro caso chiamiamo "tre", ma si poteva chiamare anche "giacomo" o "pantera", perché è ciò che rappresenta quello che conta, non bisogna infatti confondere la "quantità" con il simbolo che appunto la rappresenta. Tali numeri sono detti anche "interi", perché rappresentano unità "intere", oggetti "completi", non parte di uno stesso oggetto.

In quello che viene chiamato "sistema decimale", i simboli usati per rappresentare tali quantità intere sono, appunto, dieci: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tutti gli altri numeri si costruiscono attraverso combinazioni di questi (come le note musicali compongono tutta la musica). Ma non necessariamente dev'essere così. Esistono altri sistemi, come quello "binario" (0, 1) o quello settenario (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) e così via, che in questo articolo non affrontiamo, ma che citiamo proprio per evidenziare il fatto che i numeri sono astrazioni del tutto arbitrarie, a cui associamo particolari simboli e sistemi. In tutto questo lo zero rappresenterebbe, semplicisticamente, il "nulla", il "niente", o meglio: l'insieme vuoto. A questo punto nasce anche il "far di conto", con le due operazioni fondamentali dell'aritmetica: l'addizione e la moltiplicazione.

Cosa significa sommare? Riprendendo gli insiemi di prima significa "unire" i due insiemi e dire ora quanti oggetti contiene l'insieme così ottenuto. Per questo motivo lo "zero", che rappresenterebbe l'insieme vuoto, è l'elemento neutro della somma: se ad un insieme aggiungiamo l'insieme vuoto, di fatto non abbiamo aggiunto nulla, per cui ad esempio 5+0=0.

Cosa significa moltiplicare? In effetti è sempre una somma, indirettamente, perché significa unire un insieme con se stesso tante volte una certa quantità. Dire 5x4 significa prendere 5 4 volte, cioè unire 4 volte un insieme contenente 5 elementi: 5+5+5+5. In questo caso è l'1 a rappresentare l'elemento neutro della moltiplicazione, perché 5x1 significa prendere una volta 5, il che fa ancora 5.
E lo zero? In questo caso bisogna stare attenti al significato di "nulla" dello zero perché verrebbe da pensare che se una quantità la moltiplichiamo per il "nulla" torna la stessa quantità (come nella somma). E invece ricordandoci cosa significa moltiplicare, il risultato è zero. Ad esempio 5x0 significa prendere zero volte 5, cioè non prendere nulla = insieme vuoto = 0. Ecco perché qualunque numero moltiplicato zero fa zero!

Cosa significa sottrarre? Significa fare l'inverso dell'addizione. Dal punto di vista degli insiemi significa "togliere" degli oggetti. Quindi definiamo a-b=c qualora fosse stato c+b=a. Naturalmente con i numeri interi naturali non si possono sottrarre quantità maggiori di quelle che ci sono, per cui ad esempio 5-7 non ha soluzione (nel campo dei numeri interi naturali).

Cosa significa dividere? Significa fare l'inverso della moltiplicazione e quindi definiamo a:b=c qualora sia cxb=a. Dividere a per b non significa altro che trovare quel numero c che rimoltiplicato per b dia di nuovo a. E' per questo che non ha senso dividere per zero: significherebbe poi chiedersi qual è quel numero c che rimoltiplicato per zero dia a, ma se a è diverso da zero questo numero non esiste, mentre se a = 0 tutti i numeri risponderebbero alla domanda. Notiamo anche che finché ci troviamo solo nel campo dei numeri interi non si può neanche dividere per un numero che non sia sottomultiplo del dividendo. Cioè, si può fare ad esempio 4:2=2 (ancora intero), ma non 4:3, che non ha soluzione nel campo dei numeri interi.

Multipli e sottomultipli - Criteri di divisibilità

A questo punto nasce tutta una serie di proprietà dei numeri interi di cui la letteratura matematica è piena fin dall'antichità. Intanto ci si può chiedere chi sono i multipli di un dato numero "n". Come è noto sono tutti quei numeri che si ottengono eseguendo 2n, 3n, 4n, ... e così via. L'operazione di moltiplicazione spesso si lascia sottintesa, senza scrivere esplicitamente il segno "x" del "per", anche perché quando si ha a che fare con le equazioni spesso l'incognita è indicata proprio con una "x" e questo può generare confusione. E' dunque quello che faremo d'ora in poi, se necessario. Comunque è chiaro che i multipli di un intero sono ancora degli interi.
E i divisori? Sono i sottomultipli, cioè quei numeri che "entrano" un numero intero di volte nel numero dato. Per esempio 3 è un sottomultiplo di 12, perché 3 entra nel 12 esattamente 4 volte. Si dice quindi che 3 è divisore di 12, o che 12 è divisibile per 3 (nel senso che la soluzione della divisione esiste in quanto fa ancora parte dei numeri interi). In particolare si dicono "pari" i numeri divisibili per 2, dispari tutti gli altri. Lo zero è particolare perché è divisibile per ogni numero (e fa zero, perché ogni numero rimoltiplicato zero = 0), ma lo si considera pari per vari motivi, uno dei quali è che precede l'1, che è dispari (e così si mantiene la sequenza pari-dispari-pari-dispari-...). Si dimostrano i seguenti criteri di divisibilità dei numeri interi:

Un intero è divisibile:	... se e solo se ...	Esempi
x 2	... il numero finisce con una cifra PARI	0,2,4,6, ..., 48, 94, 107636
x 3	... la somma delle cifre è divisibile per 3	261: 2+6+1=9
x 4	... le ultime 2 cifre del numero sono divisibili per 4 o sono 00	2400, 7624, ...
x 5	... il numero termina con 0 o 5	1475, 110, ...
x 6	... il numero è divisibile sia per 2 che per 3	12, ...
x 7	... il numero ottenuto con la seguente procedura è 0 o un multiplo di 7: si sopprime l'ultima cifra del numero dato, la si raddoppia e si sottrae il risultato dal numero privato della coda. La procedura si può reiterare	2598: si toglie l'8 il cui doppio = 16. Poi 259-16=243. Ora si toglie il 3, il cui doppio è 6. 24-6=18 che NON è multiplo di 7, quindi 2598 NON è divisibile per 7
x 9	... la somma delle cifre è divisibile per 9	657: 6+5+7=18, che è divisibile per 9
x 10	... il numero termina con 0	100, 1930, 880, ...
x 11	... il numero ottenuto con la seguente procedura è 0 o un multiplo di 11: si sommano le cifre di posto dispari, poi quelle di posto pari e infine si sottraggono i due numeri così ottenuti	48246: somma delle cifre di posto dispari = 4+2+6=12; somma delle cifre di posto pari = 8+4=12, ma 12-12=0, quindi 48246 è divisibile per 11
x 25	... il numero termina con 00, 25, 50 o 75	250, 7625, ...

I numeri primi sono infiniti

Ci sono dei numeri che sono divisibili solo per 1 e per se stessi. Viene escluso il caso banale dell'1 stesso: se incluso creerebbe solo problemi, come ad esempio al Teorema Fondamentale dell'Aritmetica, secondo il quale ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi e tale rappresentazione è unica, se si prescinde dall'ordine in cui compaiono i fattori. Se inserissimo anche l'1 tra i numeri primi tale rappresentazione non sarebbe più unica (ad esempio 2x5=10, ma anche 2x5x1=10 o 2x5x1x1x1=10 e così via). Intuitivamente la validità di questo teorema è dovuta al fatto che se nel prodotto ci sono fattori non primi, questi evidentemente possono essere sempre essere ancora divisi fino ad arrivare a soli fattori primi.
Quali sono i numeri che non hanno altri divisori se non 1 e se stessi? Ecco l'inizio della sequenza: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43, ... Notiamo che ovviamente il "2" è l'unico numero pari che può essere anche primo (tutti gli altri evidentemente li potremmo dividere anche per 2 oltre che per se stessi e non sarebbero primi).

Ma quanti sono i numeri primi? Euclide intorno al 300 a.C. dimostrò che sono infiniti e la dimostrazione non è neanche difficile. Infatti, supponiamo che invece siano finiti: significa che esiste un numero primo più grande di tutti, quello che esaurisce la sequenza. Chiamiamolo P. Ora, facciamo la moltiplicazione di tutti i numeri primi fino a P e chiamiamolo N, cioè N = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x P. E' chiaro che N non è primo perché è divisibile per tutti i termini con cui lo abbiamo costruito. Ma se ora prendessimo N+1? Cosa otterremmo? Beh, di sicuro non è divisibile per nessuno dei termini da cui lo abbiamo costruito: se ci provassimo otterremmo sempre resto 1. E allora si hanno due casi:
- N+1 è un numero primo e quindi abbiamo trovato un numero primo N+1 che ovviamente è più grande di P (come del resto lo era già N), in contraddizione con l'ipotesi che P fosse il più grande numero primo.
- N+1 non è primo, ma per il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica ogni numero naturale si può esprimere come prodotto di numeri primi e senza dubbio tale prodotto va oltre P e quindi esiste qualche altro numero primo (successivo a P) il cui prodotto insieme agli altri genera N+1. Anche in questo caso abbiamo trovato l'esistenza di uno o più numeri primi più grandi di P e quindi anche ora P non poteva essere il più grande. Dunque i numeri primi sono infiniti, come volevasi dimostrare. Esistono anche altre dimostrazioni, ma questa resta la più semplice.

Tale modo di procedere nelle dimostrazioni matematiche si chiama "Dimostrazione per Assurdo": si fa un'ipotesi e poi si dimostra che si arriva ad una contraddizione e quindi l'ipotesi doveva essere falsa ("assurda", appunto).

Vi sono vari algoritmi per calcolare i numeri primi. Ma di sicuro se un numero "n" non ha divisori minori o uguali alla sua radice quadrata, non ce l'ha neanche dopo tale radice e quindi è primo! Cioè: se n non ha divisori ≤ √n (a parte 1 e se stesso, ovviamente), allora n è un numero primo. Infatti: se d divide n, significa che esiste un numero naturale q tale che n/d = q. In tal caso evidentemente anche q divide n perché sarà n/q = d ed essendo q = n/d, allora n/d divide n. Ora, se d ≥ √n --> 1/d ≤ 1/√n --> n/d ≤ n/√n --> n/d ≤ √(n2/n) --> n/d ≤ √n, cioè se un divisore d del numero n supera la √n, allora deve esistere un numero n/d < √n che come abbiamo visto è ancora divisore di n. Ma allora supponiamo che non esista un divisore ≤ √n: allora non può esistere neanche dopo, perché se esistesse abbiamo appena dimostrato che dev'essercene almeno un altro prima di √n, contro l'ipotesi appena fatta che tale divisore minore della radice quadrata di n non esistesse. In definitiva n non ha divisori né prima e né dopo la sua rdaice quadrata, quindi n non ha divisori, quindi è primo.

Massimo Comun Divisore (MCD) e minimo comune multiplo (mcm)

L'MCD è il più grande tra i divisori che alcuni numeri hanno in comune. Prendiamo 60 e 96: 60 ha come divisori 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60, mentre 96 ha come divisori 1 2 3 4 6 8 12 16 24 32 48 96. Tra questi, alcuni sono divisori sia di 60 che di 96 e cioè 1,2,3,4,6 e 12. Quindi MCD(60,96)=12.
Una tecnica per cercare l'MCD è quella di scomporre i numeri in fattori primi, poi prendere soltanto i fattori comuni, ciascuno una sola volta e con l’esponente più basso.Due interi sono detti "primi fra loro" (da non confondere con il concetto di numero primo!) se il loro MCD = 1.

Il mcm è invece il più piccolo fra i multipli comuni ai numeri dati. Prendiamo ad esempio 15 e 18: i multipli di 15 sono 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 e così via, mentre quelli di 18 sono 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 e così via. Vediamo che 90 e 180 sono tra i multipli comuni e che 90 è il più piccolo. Quindi mcm(15,18)=90.
Una tecnica per determinare il mcm è quella di scomporre i numeri dati in fattori primi, poi prendere tutti i fattori trovati, comuni e non comuni, ciascuno una sola volta e con l'’esponente più alto.

Proprietà:
- se due interi sono “primi fra loro”, cioè se MCD = 1, allora il loro mcm è il prodotto dei numeri stessi.
- il prodotto di MCD per mcm è il prodotto dei numeri stessi, cioè: MCD(a,b) x mcm(a,b) = ab. Quindi una volta che si conosce l'MCD oppure il mcm, basta fare il prodotto dei due numeri e dividere per l'uno per trovare l'altro. Ad esempio MCD = ab/mcm.

Naturalmente il mondo dei numeri non finisce qui, questa è solo la punta dell'iceberg. Le esigenze di calcolo si sono spinte poi oltre e così nacquero i numeri interi relativi (indicati con Z, che contengono anche gli interi negativi), i numeri razionali (da "ratio", rapporto, indicati con Q, che contengono anche le frazioni, ottenute come qualunque rapporto tra interi relativi anche quando il divisore non è un sottomultiplo del dividendo), i numeri irrazionali (tutti gli altri numeri NON ottenibili come rapporto tra interi, come il pi-greco o la radice quadrata di 2). L'unione dei numeri razionali con gli irrazionali da' luogo a quelli che si chiamano numeri reali e si indicano con R. Non è finita qui, proseguendo con queste scatole "matrioska", esistono anche i numeri immaginari che, insieme ai numeri reali forniscono i numeri complessi (e che si indicano con C). Ne parleremo e giustificheremo l'esistenza in un altro articolo.